微积分学示例

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ 且 $g (x) = 2 x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{2} - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{4}$ 。

$\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 1.3

使用 $2 x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 3

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 5.2

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 6

合并分数。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{3}{4}$ 和 ${(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ 。

$\frac{3 {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 7

根据加法法则， $2 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x + 0)$

解题步骤 12

化简项。

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解题步骤 12.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x)$

解题步骤 12.2

组合 $4$ 和 $\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

解题步骤 12.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

解题步骤 12.4

组合 $\frac{12}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{12 x}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 12.5

从 $12 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3 x)}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 13

约去公因数。

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解题步骤 13.1

从 $4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3 x)}{4 ({(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}})}$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$\frac{4 (3 x)}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$\frac{3 x}{{(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

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