微积分学示例

$y = {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

解题步骤 1.3

使用 $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ 。

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}])$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ 相加。

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 4.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + 0))$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x))$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 的左侧。

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{3} x)$

解题步骤 4.5.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} x)$

解题步骤 4.5.4

重新排序 $24 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} x)$ 的因式。

$24 x {(x^{2} + 1)}^{3} {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$

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