微积分学示例

$y = {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{4}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

解题步骤 1.3

使用 $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3} + 0)$

解题步骤 2.9

将 $12 x^{2} + 2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3})$

解题步骤 3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3})$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + \frac{2}{x^{3}})$

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