微积分学示例

$y = {(1 + \sin (7 x))}^{- 4}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 4}$ 且 $g (x) = 1 + \sin (7 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + \sin (7 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $1 + \sin (7 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + \sin (7 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ 。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ 相加。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $7 x$ 。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 3.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 3.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

将 $7$ 乘以 $- 4$ 。

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \cdot 1$

解题步骤 4.4

将 $- 28$ 乘以 $1$ 。

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 28 \frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

解题步骤 5.2

组合 $- 28$ 和 $\frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ 。

$\frac{- 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

解题步骤 5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

解题步骤 5.4

组合 $\cos (7 x)$ 和 $\frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ 。

$- \frac{\cos (7 x) \cdot 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$

解题步骤 5.5

将 $28$ 移到 $\cos (7 x)$ 的左侧。

$- \frac{28 \cos (7 x)}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$

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