微积分学示例

$y = {(1 - \frac{x}{7})}^{- 7}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 7}$ 且 $g (x) = 1 - \frac{x}{7}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - \frac{x}{7}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 7$ 。

$- 7 u^{- 8} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

解题步骤 1.3

使用 $1 - \frac{x}{7}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - \frac{x}{7}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$ 。

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}])$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$ 相加。

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$

解题步骤 2.4

因为 $- \frac{1}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{7}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5

化简项。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5.2

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $7$ 。

$\frac{7}{7} {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.3

组合 $\frac{7}{7}$ 和 ${(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}$ 。

$\frac{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}}{7} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}$ 移动到分母。

$\frac{7}{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.5

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.1

约去公因数。

$\frac{7}{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \cdot 1$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

将 $\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}}$

解题步骤 2.7.2

重新排序项。

$\frac{1}{{(- \frac{x}{7} + 1)}^{8}}$

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