微积分学示例

$y = {(x^{6} \ln (x))}^{5}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x^{6} \ln (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{6} \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{6} \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{6}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4.2

约去 $x^{6}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4.2.2.5

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{5} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

对 $x^{6} \ln (x)$ 运用乘积法则。

$5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 5.3

合并项。

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解题步骤 5.3.1

将 ${(x^{6})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 (x^{6 \cdot 4} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 5.3.1.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$5 (x^{24} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 5.3.2

通过指数相加将 $x^{24}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

移动 $x^{5}$ 。

$5 (x^{5} x^{24}) \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 5.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{5 + 24} \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 5.3.2.3

将 $5$ 和 $24$ 相加。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 5.3.3

将 ${(x^{6})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 (x^{6 \cdot 4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 5.3.3.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 (x^{24} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

解题步骤 5.3.4

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{24} \ln^{4} (x) (\ln (x) (x^{5}))$

解题步骤 5.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{5 + 24} \ln^{4} (x) \ln (x)$

解题步骤 5.3.6

将 $5$ 和 $24$ 相加。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} \ln^{4} (x) \ln (x)$

解题步骤 5.3.7

对 $\ln (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} (\ln^{1} (x) \ln^{4} (x))$

解题步骤 5.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} {\ln (x)}^{1 + 4}$

解题步骤 5.3.9

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} \ln^{5} (x)$

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