微积分学示例

$y = {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \frac{6 x^{2}}{2 - x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$ 。

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} (6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}])$

解题步骤 2.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$

解题步骤 3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 - x$ 。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 移到 $2 - x$ 的左侧。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 \cdot (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $2 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.7

乘。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.9

合并分数。

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解题步骤 4.9.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.9.2

组合 $\frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ 和 $18$ 。

$\frac{(2 (2 - x) x + x^{2}) \cdot 18}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

解题步骤 4.9.3

将 $18$ 移到 $2 (2 - x) x + x^{2}$ 的左侧。

$\frac{18 \cdot (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

对 $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ 运用乘积法则。

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(6 x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.2

对 $6 x^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{18 ((2 \cdot 2 + 2 (- x)) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$\frac{18 (2 \cdot 2 x + 2 (- x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$\frac{18 (2 \cdot 2 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6

合并项。

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解题步骤 5.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{18 (4 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

将 $4$ 乘以 $18$ 。

$\frac{72 x + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{72 x + 18 (- 2 x \cdot x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x)) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{1 + 1}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{2}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.8

将 $- 2$ 乘以 $18$ 。

$\frac{72 x - 36 x^{2} + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.9

将 $- 36 x^{2}$ 和 $18 x^{2}$ 相加。

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.10

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.11

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.6.11.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{2 \cdot 2}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.12

将 $\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ 乘以 $\frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$ 。

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.13

通过指数相加将 ${(2 - x)}^{2}$ 乘以 ${(2 - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.6.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2 + 2}}$

解题步骤 5.6.13.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 5.6.14

将 $36$ 移到 $72 x - 18 x^{2}$ 的左侧。

$\frac{36 (72 x - 18 x^{2}) x^{4}}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 5.7

重新排序项。

$\frac{36 x^{4} (72 x - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

解题步骤 5.8

化简分子。

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解题步骤 5.8.1

从 $72 x - 18 x^{2}$ 中分解出因数 $18 x$ 。

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解题步骤 5.8.1.1

从 $72 x$ 中分解出因数 $18 x$ 。

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

解题步骤 5.8.1.2

从 $- 18 x^{2}$ 中分解出因数 $18 x$ 。

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) + 18 x (- x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

解题步骤 5.8.1.3

从 $18 x (4) + 18 x (- x)$ 中分解出因数 $18 x$ 。

$\frac{36 x^{4} (18 x (4 - x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

$\frac{36 x^{4} \cdot 18 x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

解题步骤 5.8.2

合并指数。

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解题步骤 5.8.2.1

将 $18$ 乘以 $36$ 。

$\frac{648 x^{4} x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

解题步骤 5.8.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{648 (x^{1} x^{4}) (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

解题步骤 5.8.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{648 x^{1 + 4} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

解题步骤 5.8.2.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{648 x^{5} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

微积分学 示例

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