微积分学示例

$g (x) = 5 \arccos (\frac{x}{4})$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \arccos (\frac{x}{4})$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{x}{4})]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{x}{4})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{4}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{4}$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

解题步骤 2.2

$\arccos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$5 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{x}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

解题步骤 3.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ 和 $- 5$ 。

$\frac{- 5}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

解题步骤 3.3

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{5}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{5}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ 。

$- \frac{5}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{5}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot 1$

解题步骤 3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{5}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$- \frac{5}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}}$

解题步骤 4.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{5}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

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