微积分学示例

$f (x) \cdot (4 \ln (3 x^{2} - 5 x))$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

将 $4$ 移到 $f (x)$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [4 \cdot f (x) \ln (3 x^{2} - 5 x)]$

解题步骤 1.2

因为 $4 f (x)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 f (x) \ln (3 x^{2} - 5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 f (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{2} - 5 x)]$ 。

$4 f (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{2} - 5 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 5 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} - 5 x$ 。

$4 f (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$4 f (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

解题步骤 2.3

使用 $3 x^{2} - 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 f (x) (\frac{1}{3 x^{2} - 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{3 x^{2} - 5 x}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{3 x^{2} - 5 x} f (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{4}{3 x^{2} - 5 x}$ 和 $f (x)$ 。

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $3 x^{2} - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 3.7

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5 \cdot 1)$

解题步骤 3.9

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序 $\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5)$ 的因式。

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x}$

解题步骤 4.2

从 $3 x^{2} - 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{x (3 x) - 5 x}$

解题步骤 4.2.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{x (3 x) + x \cdot - 5}$

解题步骤 4.2.3

从 $x (3 x) + x \cdot - 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{x (3 x - 5)}$

解题步骤 4.3

将 $6 x - 5$ 乘以 $\frac{4 f (x)}{x (3 x - 5)}$ 。

$\frac{(6 x - 5) (4 f (x))}{x (3 x - 5)}$

解题步骤 4.4

将 $4$ 移到 $6 x - 5$ 的左侧。

$\frac{4 (6 x - 5) f (x)}{x (3 x - 5)}$

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