微积分学示例

$G (x) = {(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， ${(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{1}{x}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

解题步骤 4.2

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$- 4 \frac{1^{3}}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

一的任意次幂都为一。

$- 4 \frac{1}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

解题步骤 4.3.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

解题步骤 4.3.4

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{4}{x^{3}}$ 。

$- \frac{4}{x^{2} x^{3}} - \frac{1}{x}$

解题步骤 4.3.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.3.5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{4}{x^{2 + 3}} - \frac{1}{x}$

解题步骤 4.3.5.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{4}{x^{5}} - \frac{1}{x}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{5}}$

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