微积分学示例

$\ln (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 9

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 10.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11

化简分母。

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解题步骤 11.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 11.1.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 11.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

解题步骤 11.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 11.1.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{1}{3 x^{1}}$

解题步骤 11.2

化简 $3 x^{1}$ 。

$\frac{1}{3 x}$

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