微积分学示例

$\ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x}{y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x}{y}$ 。

$1 \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 3

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 4

因为 $\frac{1}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{y}{x} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x} \cdot 1$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x}$

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