微积分学示例

$\ln (x^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{\frac{5}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

解题步骤 6.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ 乘以 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $2$ 移到 $x^{\frac{5}{2}}$ 的左侧。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{5}{2 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}$

解题步骤 10

化简分母。

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解题步骤 10.1

通过指数相加将 $x^{\frac{5}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

移动 $x^{- \frac{3}{2}}$ 。

$\frac{5}{2 (x^{- \frac{3}{2}} x^{\frac{5}{2}})}$

解题步骤 10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{2 x^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{2 x^{\frac{- 3 + 5}{2}}}$

解题步骤 10.1.4

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$\frac{5}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{5}{2 x^{1}}$

解题步骤 10.2

化简 $2 x^{1}$ 。

$\frac{5}{2 x}$

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