微积分学示例

$\ln (x^{2}) + e^{2 x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\ln (x^{2}) + e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{2}{x^{2}} x + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{2}{x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.5

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{2}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{2}{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2}{x} + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{x} + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{x} + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{x} + e^{2 x} \cdot 2$

解题步骤 3.5

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{2}{x} + 2 e^{2 x}$

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