微积分学示例

$\ln (- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

解题步骤 1.3

使用 $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.5

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.8

因为 $135$ 对于 $x$ 是常数，所以 $135 x$ 对 $x$ 的导数是 $135 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.10

将 $135$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + 0)$

解题步骤 2.12

将 $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序 $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$ 的因式。

$(- 3 x^{2} + 12 x + 135) \frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.2

将 $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ 乘以 $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

从 $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2}) + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3.1.2

从 $12 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3.1.3

从 $135$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3.1.4

从 $3 (- x^{2}) + 3 (4 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3.1.5

从 $3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3.2

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 45 = - 45$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3 (- x^{2} + 4 (x) + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3.2.1.2

把 $4$ 重写为 $- 5$ 加 $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 9) x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3.2.1.3

运用分配律。

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{3 (x (- x - 5) - 9 (- x - 5))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.3.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 5$ 来因式分解多项式。

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 9))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.5

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.6

从 $- (x) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.7

将 $- (x + 5)$ 重写为 $- 1 (x + 5)$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.8

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

解题步骤 3.9

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

解题步骤 3.10

从 $- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

解题步骤 3.11

从 $135 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x) + 1}$

解题步骤 3.12

从 $- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) + 1}$

解题步骤 3.13

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)}$

解题步骤 3.14

从 $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

解题步骤 3.15

将 $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ 重写为 $- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

解题步骤 3.16

约去公因数。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

解题步骤 3.17

重写表达式。

$\frac{3 (x + 5) (x - 9)}{x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1}$

微积分学 示例

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