微积分学示例

$\ln (x^{2} \sin (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} \sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{2} \sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ 。

$\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

解题步骤 5.2.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

解题步骤 5.2.3.2

重写表达式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

解题步骤 5.2.4

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\cot (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

解题步骤 5.2.5

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ 。

$\cot (x) + \frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)} (2 x)$

解题步骤 5.2.6

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ 。

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} x$

解题步骤 5.2.7

组合 $\frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ 和 $x$ 。

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

解题步骤 5.2.8

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

约去公因数。

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

解题步骤 5.2.8.2

重写表达式。

$\cot (x) + \frac{2 x}{x^{2}}$

解题步骤 5.2.9

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.9.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

解题步骤 5.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.9.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

解题步骤 5.2.9.2.2

约去公因数。

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

解题步骤 5.2.9.2.3

重写表达式。

$\cot (x) + \frac{2}{x}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{2}{x} + \cot (x)$

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