微积分学示例

$\ln (x^{k})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{k}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{k}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{k}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{k}]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{k}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{k}} \frac{d}{d x} [x^{k}]$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = k$ 。

$\frac{1}{x^{k}} (k x^{k - 1})$

解题步骤 2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $k$ 和 $\frac{1}{x^{k}}$ 。

$\frac{k}{x^{k}} x^{k - 1}$

解题步骤 2.2.2

组合 $\frac{k}{x^{k}}$ 和 $x^{k - 1}$ 。

$\frac{k x^{k - 1}}{x^{k}}$

解题步骤 2.2.3

约去 $x^{k - 1}$ 和 $x^{k}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $k x^{k - 1}$ 中分解出因数 $x^{k}$ 。

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k}}$

解题步骤 2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{k x^{- 1}}{1}$

解题步骤 2.2.3.2.4

用 $k x^{- 1}$ 除以 $1$ 。

$k x^{- 1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$k \frac{1}{x}$

解题步骤 3.2

组合 $k$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{k}{x}$

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