微积分学示例

$\ln (\frac{1}{\ln (x)})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{\ln (x)}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{1}{\ln (x)}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1}{\ln (x)}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\ln (x)}$ 。

$1 \ln (x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{\ln (x)}$ 重写为 $\ln^{- 1} (x)$ 。

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\ln (x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 5

对 $\ln (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln^{1} (x) \ln^{- 2} (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\ln (x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 7

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \ln^{- 1} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 8

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$- \ln^{- 1} (x) \frac{1}{x}$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln^{- 1} (x)$ 。

$- \frac{\ln^{- 1} (x)}{x}$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $\ln^{- 1} (x)$ 移动到分母。

$- \frac{1}{x \ln (x)}$

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