微积分学示例

$f (x) = \arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$

解题步骤 1

根据加法法则， $\arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ 。

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{30}{x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{30}{x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2.1.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\frac{30}{x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2.2

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{30}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $30$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (- 30 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2.6

组合 $- 30$ 和 $\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ 。

$\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$\frac{- 30 x^{- 2}}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{- 30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 2.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \arctan (\frac{10}{x})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{10}{x}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{10}{x}$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

解题步骤 3.2.2

$\arctan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\frac{10}{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

解题步骤 3.3

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

解题步骤 3.4

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]))$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 (- x^{- 2})))$

解题步骤 3.6

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (- 10 x^{- 2}))$

解题步骤 3.7

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} x^{- 2})$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10 x^{- 2}}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$

解题步骤 3.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - - \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + 1 \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

解题步骤 3.12

将 $\frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{30}{x}$ 运用乘积法则。

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $\frac{10}{x}$ 运用乘积法则。

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5

合并项。

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解题步骤 4.5.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.2

对 $30$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.3

组合 $\frac{900}{x^{2}}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.4.1

约去公因数。

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.4.2

用 $900$ 除以 $1$ 。

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.5

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.6

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100}{x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.7

组合 $\frac{100}{x^{2}}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.5.8

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.8.1

约去公因数。

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.5.8.2

用 $100$ 除以 $1$ 。

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

解题步骤 4.5.9

要将 $- \frac{30}{x^{2} + 900}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ 。

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

解题步骤 4.5.10

要将 $\frac{10}{x^{2} + 100}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ 。

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

解题步骤 4.5.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ 的形式。

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解题步骤 4.5.11.1

将 $\frac{30}{x^{2} + 900}$ 乘以 $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ 。

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

解题步骤 4.5.11.2

将 $\frac{10}{x^{2} + 100}$ 乘以 $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ 。

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.5.11.3

重新排序 $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ 的因式。

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.5.12

在公分母上合并分子。

$\frac{- 30 (x^{2} + 100) + 10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.6

重新排序项。

$\frac{10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

从 $10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)$ 中分解出因数 $10$ 。

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解题步骤 4.7.1.1

从 $- 30 (x^{2} + 100)$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.7.1.2

从 $10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.7.2

运用分配律。

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 3 \cdot 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.7.3

将 $- 3$ 乘以 $100$ 。

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.7.4

从 $x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 900 - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.7.5

从 $900$ 中减去 $300$ 。

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.7.6

从 $- 2 x^{2} + 600$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.7.6.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.7.6.2

从 $600$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 2 (300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.7.6.3

从 $2 (- x^{2}) + 2 (300)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{10 (2 (- x^{2} + 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

$\frac{10 \cdot 2 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.7.7

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{20 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.8

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{20 (- (x^{2}) + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.9

将 $300$ 重写为 $- 1 (- 300)$ 。

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (- 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.10

从 $- (x^{2}) - 1 (- 300)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{20 (- (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.11

将 $- (x^{2} - 300)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 300)$ 。

$\frac{20 (- 1 (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

解题步骤 4.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20 (x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

微积分学 示例

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