微积分学示例

$\int \cos (\ln (x)) d x$

解题步骤 1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

$\int e^{u} \cos (u) d u$

解题步骤 2

将 $e^{u}$ 和 $\cos (u)$ 重新排序。

$\int \cos (u) e^{u} d u$

解题步骤 3

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = \cos (u)$ ， $dv = e^{u}$ 。

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

解题步骤 5.2

将 $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ 乘以 $1$ 。

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

解题步骤 5.3

将 $e^{u}$ 和 $\sin (u)$ 重新排序。

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

解题步骤 6

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = \sin (u)$ ， $dv = e^{u}$ 。

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

解题步骤 7

求解 $\int e^{u} \cos (u) d u$ ，我们发现 $\int e^{u} \cos (u) d u$ = $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ 。

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

解题步骤 8

将 $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ 重写为 $\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

解题步骤 9

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

解题步骤 10.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$

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