微积分学示例

$f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 7}{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x^{2} - 7}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x^{2} - 7}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x^{2} - 7}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x^{2} - 7}{x}$ 。

$1 \frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

解题步骤 3

将 $\frac{x}{x^{2} - 7}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 7$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $x^{2} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$

解题步骤 11.2

将 $\frac{x}{x^{2} - 7}$ 乘以 $\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$ 。

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{(x^{2} - 7) x^{2}}$

解题步骤 12

约去公因数。

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解题步骤 12.1

从 $(x^{2} - 7) x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{(x^{2} - 7) x}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{(x^{2} - 7) x}$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{x^{2} x - 7 x}$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

解题步骤 13.3.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

解题步骤 13.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.4.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x^{1} - 7 x}$

解题步骤 13.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2 + 1} - 7 x}$

解题步骤 13.4.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 7}{x^{3} - 7 x}$

解题步骤 13.5

从 $x^{3} - 7 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 13.5.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} - 7 x}$

解题步骤 13.5.2

从 $- 7 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 7}$

解题步骤 13.5.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot - 7$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 7}{x (x^{2} - 7)}$

微积分学 示例

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