微积分学示例

$f (x) = x \ln (\arctan (x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (\arctan (x))$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (\arctan (x))] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \arctan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\arctan (x)$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

组合 $\frac{1}{\arctan (x)}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{x}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{x}{\arctan (x)}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \cdot 1$

解题步骤 5.3

将 $\ln (\arctan (x))$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

将 $\arctan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

解题步骤 6.2.2

要将 $\ln (\arctan (x))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$ 。

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \frac{\ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

解题步骤 6.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x + \ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{(\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}) \ln (\arctan (x)) + x}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$

微积分学 示例

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