微积分学示例

$f (x) = x \ln (1 + x^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (1 + x^{2})$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{x}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{x}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x}{1 + x^{2}} (2 x) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{x}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{2 x}{1 + x^{2}} x + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6.2

组合 $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x \cdot x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \cdot 1$

解题步骤 9

将 $\ln (1 + x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2})$

解题步骤 10

要将 $\ln (1 + x^{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\ln (1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 11

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) \cdot 1 + \ln (1 + x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 12.1.1.2

将 $\ln (1 + x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 12.1.2

将 $2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2}) x^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x^{2} + \ln (1 + x^{2}) + x^{2} \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 12.2

重新排序项。

$\frac{2 x^{2} + x^{2} \ln (1 + x^{2}) + \ln (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$

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