微积分学示例

$f (x) = x \cos (\ln (x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (\ln (x))$ 。

$x \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))] + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x (- \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sin (\ln (x))$ 。

$x (- \frac{\sin (\ln (x))}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{\sin (\ln (x))}{x}$ 。

$- \frac{x \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$- \frac{x \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2.2.2

用 $\sin (\ln (x))$ 除以 $1$ 。

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x)) \cdot 1$

解题步骤 4.4

将 $\cos (\ln (x))$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x))$

微积分学 示例

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