微积分学示例

$f (x) = \ln (\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

解题步骤 2

将 $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

解题步骤 4

将 $\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 转换成 $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ 。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

解题步骤 5.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

解题步骤 5.3

使用 $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

解题步骤 6

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

根据加法法则， $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ 。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

解题步骤 6.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

解题步骤 6.5

因为 $\frac{π}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + 0)$

解题步骤 6.6

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{1}{2}$

解题步骤 6.6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 。

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$

解题步骤 6.6.3

组合 $\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$ 和 $\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 。

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

将 $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

解题步骤 7.1.2

将 $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})})}^{2}}{2}$

解题步骤 7.1.3

对 $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

解题步骤 7.1.4

约去 $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.4.1

从 $\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 中分解出因数 $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 。

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

解题步骤 7.1.4.2

约去公因数。

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

解题步骤 7.1.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

解题步骤 7.1.5

将 $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 乘以 $\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 。

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

解题步骤 7.1.6

分离分数。

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

解题步骤 7.1.7

将 $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 转换成 $\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 。

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

解题步骤 7.1.8

分离分数。

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

解题步骤 7.1.9

将 $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ 转换成 $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 。

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

解题步骤 7.1.10

用 $1^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1^{2} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

解题步骤 7.1.11

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

解题步骤 7.1.12

将 $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$\frac{\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

微积分学 示例

微积分学示例