微积分学示例

$y = (x^{2} + \sin (x)) \sec (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + \sin (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$(x^{2} + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (x)]$

解题步骤 2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$(x^{2} + \sin (x)) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (x)]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$(x^{2} \sec (x) + \sin (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x) + \sec (x) \cos (x)$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.4

合并。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.5

化简分母。

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解题步骤 5.5.5.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.5.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.6

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.7

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.8

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.9

乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 5.5.9.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.9.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.9.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.9.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.9.7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.9.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.9.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.10

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.11

乘以 $2 x \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 5.5.11.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{2}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.11.2

组合 $x$ 和 $\frac{2}{\cos (x)}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 2}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.12

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \cdot x}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5.13

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 5.5.13.1

将 $\cos (x)$ 和 $\sec (x)$ 重新排序。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + \sec (x) \cos (x)$

解题步骤 5.5.13.2

将 $\cos (x) \sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

解题步骤 5.5.13.3

约去公因数。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

解题步骤 5.6.2

分离分数。

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

解题步骤 5.6.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

解题步骤 5.6.4

分离分数。

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

解题步骤 5.6.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{x^{2}}{1} \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

解题步骤 5.6.6

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

解题步骤 5.6.7

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\tan^{2} (x)$ 。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

解题步骤 5.7

移动 $1$ 。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 + \frac{2 x}{\cos (x)}$

解题步骤 5.8

使用勾股恒等式。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)}$

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