微积分学示例

$y = (\sqrt[5]{x} - 2 \sqrt[4]{x} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{5}} - 2 \sqrt[4]{x} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1$ 且 $g (x) = x^{3} - 5 x - 7$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x - 7] + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{3} - 5 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

解题步骤 3.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

解题步骤 3.5

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

解题步骤 3.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 + 0) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

解题步骤 3.7

将 $3 x^{2} - 5$ 和 $0$ 相加。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

解题步骤 3.8

根据加法法则， $x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{- \frac{4}{5}}$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{5}}$ 移动到分母。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 9

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{\frac{1}{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{4}$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 12

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 13

在公分母上合并分子。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 14

化简分子。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 14.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 15

将负号移到分数的前面。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 16

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{- \frac{3}{4}}$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 17

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{4}}$ 移动到分母。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 2}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 19

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 20

约去公因数。

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解题步骤 20.1

从 $4 x^{\frac{3}{4}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 20.2

约去公因数。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 20.3

重写表达式。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 21

将负号移到分数的前面。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 22

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + 0)$

解题步骤 23

化简表达式。

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解题步骤 23.1

将 $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$ 和 $0$ 相加。

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}})$

解题步骤 23.2

重新排序项。

$(3 x^{2} - 5) (x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}})$

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