微积分学示例

$y = (\sqrt[9]{x} - \frac{9}{x})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[9]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{9}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}} - \frac{9}{x}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $x^{\frac{1}{9}} - \frac{9}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{9}$ 。

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $9$ 。

$\frac{1}{9} x^{\frac{- 8}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

解题步骤 9

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{9}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 (- x^{- 2})$

解题步骤 12

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + 9 x^{- 2}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{9}}} + 9 x^{- 2}$

解题步骤 13.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{9}}} + 9 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 13.3

合并项。

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解题步骤 13.3.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{8}{9}}}$ 。

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} + 9 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 13.3.2

组合 $9$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} + \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 13.4

重新排序项。

$\frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$

微积分学 示例

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