微积分学示例

$y = (4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6$ 且 $g (x) = e^{x^{3}}$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.9

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.11

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.12

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 + 0)$

解题步骤 3.13

将 $12 x^{2} - 4 x + 8$ 和 $0$ 相加。

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

运用分配律。

$(4 x^{3} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}}) (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$4 x^{3} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$4 x^{3} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{3} e^{x^{3}} x^{2} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$12 (x^{2} x^{3}) e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{2 + 3} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.2.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{2} e^{x^{3}} x^{2} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 (x^{2} x^{2}) e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{2 + 2} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.5

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x e^{x^{3}} x^{2} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 (x^{2} x) e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.6.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 (x^{2} x^{1}) e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{2 + 1} e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.7

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 e^{x^{3}} x^{2} + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

解题步骤 4.4.8

将 $8$ 移到 $e^{x^{3}}$ 的左侧。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 e^{x^{3}} x^{2} + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 \cdot e^{x^{3}}$

解题步骤 4.4.9

移动 $e^{x^{3}}$ 。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 x^{2} e^{x^{3}} + 12 x^{2} e^{x^{3}} + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 e^{x^{3}}$

解题步骤 4.4.10

将 $- 18 x^{2} e^{x^{3}}$ 和 $12 x^{2} e^{x^{3}}$ 相加。

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 6 x^{2} e^{x^{3}} + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 e^{x^{3}}$

解题步骤 4.5

重新排序项。

$12 e^{x^{3}} x^{5} - 6 e^{x^{3}} x^{4} + 24 e^{x^{3}} x^{3} - 6 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x + 8 e^{x^{3}}$

微积分学 示例

微积分学示例