微积分学示例

$y = (2 x^{3} - 4 x^{2}) (3 x^{5} + x^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x^{5} + x^{2}$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{5} + x^{2}] + (3 x^{5} + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{5} + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (3 x^{5} + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2}]$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (3 x^{5} + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (3 x^{5} + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2}]$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (3 x^{5} + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2}]$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $2 x^{3} - 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])$

解题步骤 2.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])$

解题步骤 2.9

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])$

解题步骤 2.10

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 4 (2 x))$

解题步骤 2.12

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x)) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.1.2

从 $(3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x)) + 1 ((3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x))$

解题步骤 3.1.3

从 $1 ((2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x)) + 1 ((3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x))$

解题步骤 3.2

将 $(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$ 乘以 $1$ 。

$(2 x^{3} - 4 x^{2}) (15 x^{4} + 2 x) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$(15 x^{4} + 2 x) (2 x^{3} - 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

使用 FOIL 方法展开 $(15 x^{4} + 2 x) (2 x^{3} - 4 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

运用分配律。

$15 x^{4} (2 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 x (2 x^{3} - 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.1.2

运用分配律。

$15 x^{4} (2 x^{3}) + 15 x^{4} (- 4 x^{2}) + 2 x (2 x^{3} - 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.1.3

运用分配律。

$15 x^{4} (2 x^{3}) + 15 x^{4} (- 4 x^{2}) + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$15 \cdot 2 x^{4} x^{3} + 15 x^{4} (- 4 x^{2}) + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$15 \cdot 2 (x^{3} x^{4}) + 15 x^{4} (- 4 x^{2}) + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 \cdot 2 x^{3 + 4} + 15 x^{4} (- 4 x^{2}) + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.2.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$15 \cdot 2 x^{7} + 15 x^{4} (- 4 x^{2}) + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.3

将 $15$ 乘以 $2$ 。

$30 x^{7} + 15 x^{4} (- 4 x^{2}) + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$30 x^{7} + 15 \cdot - 4 x^{4} x^{2} + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.5

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$30 x^{7} + 15 \cdot - 4 (x^{2} x^{4}) + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{7} + 15 \cdot - 4 x^{2 + 4} + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.5.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$30 x^{7} + 15 \cdot - 4 x^{6} + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.6

将 $15$ 乘以 $- 4$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.7

使用乘法的交换性质重写。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 2 \cdot 2 x \cdot x^{3} + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.8.1

移动 $x^{3}$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 2 \cdot 2 (x^{3} x) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.8.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 2 \cdot 2 (x^{3} x^{1}) + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 2 \cdot 2 x^{3 + 1} + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.8.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} + 2 x (- 4 x^{2}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.10

使用乘法的交换性质重写。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{2} + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.11.1

移动 $x^{2}$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} + 2 \cdot - 4 (x^{2} x) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.11.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} + 2 \cdot - 4 (x^{2} x^{1}) + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} + 2 \cdot - 4 x^{2 + 1} + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.11.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} + 2 \cdot - 4 x^{3} + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.2.12

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + (3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.3

使用 FOIL 方法展开 $(3 x^{5} + x^{2}) (6 x^{2} - 8 x)$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

运用分配律。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 3 x^{5} (6 x^{2} - 8 x) + x^{2} (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.3.2

运用分配律。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 3 x^{5} (6 x^{2}) + 3 x^{5} (- 8 x) + x^{2} (6 x^{2} - 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3

运用分配律。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 3 x^{5} (6 x^{2}) + 3 x^{5} (- 8 x) + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 3 \cdot 6 x^{5} x^{2} + 3 x^{5} (- 8 x) + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 3 \cdot 6 (x^{2} x^{5}) + 3 x^{5} (- 8 x) + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 3 \cdot 6 x^{2 + 5} + 3 x^{5} (- 8 x) + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.2.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 3 \cdot 6 x^{7} + 3 x^{5} (- 8 x) + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.3

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} + 3 x^{5} (- 8 x) + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} + 3 \cdot - 8 x^{5} x + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.5

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.4.5.1

移动 $x$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x^{5}) + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.4.4.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} + 3 \cdot - 8 (x^{1} x^{5}) + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} + 3 \cdot - 8 x^{1 + 5} + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.5.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} + 3 \cdot - 8 x^{6} + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.6

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} - 24 x^{6} + x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.7

使用乘法的交换性质重写。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} - 24 x^{6} + 6 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} - 24 x^{6} + 6 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} - 24 x^{6} + 6 x^{2 + 2} + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.8.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} - 24 x^{6} + 6 x^{4} + x^{2} (- 8 x)$

解题步骤 3.4.4.9

使用乘法的交换性质重写。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} - 24 x^{6} + 6 x^{4} - 8 x^{2} x$

解题步骤 3.4.4.10

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.4.10.1

移动 $x$ 。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} - 24 x^{6} + 6 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2})$

解题步骤 3.4.4.10.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} - 24 x^{6} + 6 x^{4} - 8 (x^{1} x^{2})$

解题步骤 3.4.4.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} - 24 x^{6} + 6 x^{4} - 8 x^{1 + 2}$

解题步骤 3.4.4.10.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$30 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{7} - 24 x^{6} + 6 x^{4} - 8 x^{3}$

解题步骤 3.5

将 $30 x^{7}$ 和 $18 x^{7}$ 相加。

$48 x^{7} - 60 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{6} + 6 x^{4} - 8 x^{3}$

解题步骤 3.6

从 $- 60 x^{6}$ 中减去 $24 x^{6}$ 。

$48 x^{7} - 84 x^{6} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{4} - 8 x^{3}$

解题步骤 3.7

将 $4 x^{4}$ 和 $6 x^{4}$ 相加。

$48 x^{7} - 84 x^{6} + 10 x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{3}$

解题步骤 3.8

从 $- 8 x^{3}$ 中减去 $8 x^{3}$ 。

$48 x^{7} - 84 x^{6} + 10 x^{4} - 16 x^{3}$

微积分学 示例

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