微积分学示例

$y = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec (x) + \tan (x)$ 且 $g (x) = \sec (x) - \tan (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) - \tan (x)] + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sec (x) - \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 6

根据加法法则， $\sec (x) + \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 7

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 8

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x))$ 。

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解题步骤 9.1.1.1

运用分配律。

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.1.2

运用分配律。

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.1.3

运用分配律。

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.2.1.1

乘以 $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ 。

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解题步骤 9.1.2.1.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.1.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.3

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 9.1.2.1.3.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.3.2

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 9.1.2.1.3.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.4

乘以 $\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ 。

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解题步骤 9.1.2.1.4.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.4.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.2

重新排序 $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ 的因式。

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.3

从 $\sec^{2} (x) \tan (x)$ 中减去 $\sec^{2} (x) \tan (x)$ 。

$0 - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.2.4

从 $0$ 中减去 $\sec^{3} (x)$ 。

$- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.3

从 $- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

从 $- \sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.3.2

从 $\tan^{2} (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.3.3

从 $\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.4

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.5

从 $\tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.6

从 $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.7

使用勾股恒等式。

$\sec (x) (- 1 \cdot 1) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sec (x) \cdot - 1 + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.9

将 $- 1$ 移到 $\sec (x)$ 的左侧。

$- 1 \cdot \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.10

将 $- 1 \sec (x)$ 重写为 $- \sec (x)$ 。

$- \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ 。

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解题步骤 9.1.11.1

运用分配律。

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.11.2

运用分配律。

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 9.1.11.3

运用分配律。

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.12.1.1

乘以 $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ 。

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解题步骤 9.1.12.1.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.1.1.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.1.2

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 9.1.12.1.2.1

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 9.1.12.1.2.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 2} - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.1.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.1.3

乘以 $- \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ 。

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解题步骤 9.1.12.1.3.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.1.3.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 9.1.12.2

重新排序 $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ 的因式。

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 9.1.12.3

从 $\sec^{2} (x) \tan (x)$ 中减去 $\sec^{2} (x) \tan (x)$ 。

$- \sec (x) + 0 + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 9.1.12.4

将 $0$ 和 $\sec^{3} (x)$ 相加。

$- \sec (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 9.1.13

从 $\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 9.1.13.1

从 $\sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 9.1.13.2

从 $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$

解题步骤 9.1.13.3

从 $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

解题步骤 9.1.14

使用勾股恒等式。

$- \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$

解题步骤 9.1.15

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$- \sec (x) + \sec (x)$

解题步骤 9.2

将 $- \sec (x)$ 和 $\sec (x)$ 相加。

$0$

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