微积分学示例

$y = (5 x^{2} - 7) (3 x^{2} - 2 x + 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 x^{2} - 7$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ 。

$(5 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1] + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(5 x^{2} - 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(5 x^{2} - 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(5 x^{2} - 7) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(5 x^{2} - 7) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

解题步骤 2.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

解题步骤 2.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

解题步骤 2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 + 0) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

解题步骤 2.9

将 $6 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $5 x^{2} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.13

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (10 x + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.14

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (10 x + 0)$

解题步骤 2.15

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (10 x)$

解题步骤 2.15.2

将 $10$ 移到 $3 x^{2} - 2 x + 1$ 的左侧。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + 10 \cdot (3 x^{2} - 2 x + 1) x$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (10 (3 x^{2}) + 10 (- 2 x) + 10 \cdot 1) x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$(5 x^{2} - 7) (6 x) + (5 x^{2} - 7) \cdot - 2 + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$5 x^{2} (6 x) - 7 (6 x) + (5 x^{2} - 7) \cdot - 2 + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$5 x^{2} (6 x) - 7 (6 x) + 5 x^{2} \cdot - 2 - 7 \cdot - 2 + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$30 x^{2} x - 7 (6 x) + 5 x^{2} \cdot - 2 - 7 \cdot - 2 + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 (x^{1} x^{2}) - 7 (6 x) + 5 x^{2} \cdot - 2 - 7 \cdot - 2 + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{1 + 2} - 7 (6 x) + 5 x^{2} \cdot - 2 - 7 \cdot - 2 + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$30 x^{3} - 7 (6 x) + 5 x^{2} \cdot - 2 - 7 \cdot - 2 + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.5

将 $6$ 乘以 $- 7$ 。

$30 x^{3} - 42 x + 5 x^{2} \cdot - 2 - 7 \cdot - 2 + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.6

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} - 7 \cdot - 2 + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.7

将 $- 7$ 乘以 $- 2$ 。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 10 (3 x^{2}) x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.8

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 30 x^{2} x + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 30 (x^{1} x^{2}) + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 30 x^{1 + 2} + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.11

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 30 x^{3} + 10 (- 2 x) x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.12

将 $- 2$ 乘以 $10$ 。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 30 x^{3} - 20 x \cdot x + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 30 x^{3} - 20 (x^{1} x) + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 30 x^{3} - 20 (x^{1} x^{1}) + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 30 x^{3} - 20 x^{1 + 1} + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 30 x^{3} - 20 x^{2} + 10 \cdot 1 x$

解题步骤 3.6.17

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$30 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 + 30 x^{3} - 20 x^{2} + 10 x$

解题步骤 3.6.18

将 $30 x^{3}$ 和 $30 x^{3}$ 相加。

$60 x^{3} - 42 x - 10 x^{2} + 14 - 20 x^{2} + 10 x$

解题步骤 3.6.19

从 $- 10 x^{2}$ 中减去 $20 x^{2}$ 。

$60 x^{3} - 42 x - 30 x^{2} + 14 + 10 x$

解题步骤 3.6.20

将 $- 42 x$ 和 $10 x$ 相加。

$60 x^{3} - 32 x - 30 x^{2} + 14$

解题步骤 3.7

重新排序项。

$60 x^{3} - 30 x^{2} - 32 x + 14$

微积分学 示例

微积分学示例