微积分学示例

$y = (4 x^{2} - x + 4) (4 - 5 x - 2 x^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 4 x^{2} - x + 4$ 且 $g (x) = 4 - 5 x - 2 x^{2}$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) \frac{d}{d x} [4 - 5 x - 2 x^{2}] + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 - 5 x - 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 相加。

$(4 x^{2} - x + 4) (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

解题步骤 2.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

解题步骤 2.6

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

解题步骤 2.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 2 (2 x)) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x + 4]$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $4 x^{2} - x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.11

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.13

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.17

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1 + 0)$

解题步骤 2.18

将 $8 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.1.2

从 $(4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)) + 1 ((4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1))$

解题步骤 3.1.3

从 $1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x)) + 1 ((4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1))$

解题步骤 3.2

将 $(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} - x + 4) (- 5 - 4 x) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$(- 5 - 4 x) (4 x^{2} - x + 4) + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 5 - 4 x) (4 x^{2} - x + 4)$ 。

$- 5 (4 x^{2}) - 5 (- x) - 5 \cdot 4 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$- 20 x^{2} - 5 (- x) - 5 \cdot 4 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$- 20 x^{2} + 5 x - 5 \cdot 4 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.3

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 x (4 x^{2}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 (x^{2} x) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 x^{2 + 1} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 4 \cdot 4 x^{3} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.6

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 x (- x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.7

使用乘法的交换性质重写。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 \cdot - 1 x \cdot x - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.8.1

移动 $x$ 。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 \cdot - 1 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 4 \cdot - 1 x^{2} - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.9

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.2.10

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$- 20 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} + 4 x^{2} - 16 x + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.3

将 $- 20 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$- 16 x^{2} + 5 x - 20 - 16 x^{3} - 16 x + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.4

从 $5 x$ 中减去 $16 x$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + (4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$

解题步骤 3.4.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 - 5 x - 2 x^{2}) (8 x - 1)$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 4 (8 x) + 4 \cdot - 1 - 5 x (8 x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6

化简每一项。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot - 1 - 5 x (8 x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 x (8 x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.3

使用乘法的交换性质重写。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 \cdot 8 x \cdot x - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.6.4.1

移动 $x$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 \cdot 8 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 5 \cdot 8 x^{2} - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.5

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} - 5 x \cdot - 1 - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.6

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} (8 x) - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.7

使用乘法的交换性质重写。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.6.8.1

移动 $x$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.6.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 2 \cdot 8 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.9

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 16 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.4.6.10

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 32 x - 4 - 40 x^{2} + 5 x - 16 x^{3} + 2 x^{2}$

解题步骤 3.4.7

将 $32 x$ 和 $5 x$ 相加。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 37 x - 4 - 40 x^{2} - 16 x^{3} + 2 x^{2}$

解题步骤 3.4.8

将 $- 40 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$- 16 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 37 x - 4 - 16 x^{3} - 38 x^{2}$

解题步骤 3.5

从 $- 16 x^{2}$ 中减去 $38 x^{2}$ 。

$- 54 x^{2} - 11 x - 20 - 16 x^{3} + 37 x - 4 - 16 x^{3}$

解题步骤 3.6

将 $- 11 x$ 和 $37 x$ 相加。

$- 54 x^{2} + 26 x - 20 - 16 x^{3} - 4 - 16 x^{3}$

解题步骤 3.7

从 $- 20$ 中减去 $4$ 。

$- 54 x^{2} + 26 x - 16 x^{3} - 24 - 16 x^{3}$

解题步骤 3.8

从 $- 16 x^{3}$ 中减去 $16 x^{3}$ 。

$- 54 x^{2} + 26 x - 32 x^{3} - 24$

微积分学 示例

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