微积分学示例

$\sin (x) \cos (x) \tan (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x) \cos (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$\sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 6

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

解题步骤 10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 11

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$\sin (x) \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin^{2} (x)) + \tan (x) \cos^{2} (x)$

解题步骤 14.2

重新排序项。

$\sec^{2} (x) \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3

化简每一项。

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解题步骤 14.3.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.3.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.3.2

约去公因数。

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.3.3

重写表达式。

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \sin (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.5

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin^{2} (x) \tan (x) + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.6

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.7

乘以 $- \sin^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 14.3.7.1

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\sin^{2} (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.7.2

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 14.3.7.2.1

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 14.3.7.2.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.7.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.7.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 14.3.8

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 14.3.9

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.9.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 14.3.9.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 14.3.9.3

重写表达式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 14.4

化简每一项。

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解题步骤 14.4.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) - \frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 14.4.2

从 $\sin^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\tan (x) - \frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 14.4.3

分离分数。

$\tan (x) - (\frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 14.4.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) - (\frac{\sin^{2} (x)}{1} \tan (x)) + \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 14.4.5

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) + \cos (x) \sin (x)$

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