微积分学示例

$\sin (2 x) \sec (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (2 x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sin (2 x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 移到 $\sec (x) \cos (2 x)$ 的左侧。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + 2 \cdot (\sec (x) \cos (2 x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序项。

$\sec (x) \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.3

使用正弦倍角公式。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.4

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.4.2

用 $2 \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.6

乘以 $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.6.2

组合 $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.6.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.6.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

解题步骤 5.2.7

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.8

乘以 $2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 5.2.8.1

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\cos (x)} \cos (2 x)$

解题步骤 5.2.8.2

组合 $\frac{2}{\cos (x)}$ 和 $\cos (2 x)$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5.3.2

分离分数。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5.3.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5.3.4

用 $2 (\sin (x))$ 除以 $1$ 。

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5.3.5

分离分数。

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5.3.6

将 $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 5.3.7

将 $\cos (2 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 5.3.8

化简。

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解题步骤 5.3.8.1

用 $\cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

解题步骤 5.3.8.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \sec (x))$

解题步骤 5.3.9

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

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