微积分学示例

$\tan (x) (5 \sin (x) + 7 \cos (x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 5 \sin (x) + 7 \cos (x)$ 。

$\tan (x) \frac{d}{d x} [5 \sin (x) + 7 \cos (x)] + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 \sin (x) + 7 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$ 。

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\tan (x) (5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\tan (x) (5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\tan (x) (5 \cos (x) + 7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\tan (x) (5 \cos (x) + 7 (- \sin (x))) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\tan (x) (5 \cos (x) - 7 \sin (x)) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 7

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\tan (x) (5 \cos (x) - 7 \sin (x)) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\tan (x) (5 \cos (x)) + \tan (x) (- 7 \sin (x)) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\tan (x) (5 \cos (x)) + \tan (x) (- 7 \sin (x)) + 5 \sin (x) \sec^{2} (x) + 7 \cos (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 8.3

将 $5$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$5 \tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- 7 \sin (x)) + 5 \sin (x) \sec^{2} (x) + 7 \cos (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 8.4

重新排序项。

$5 \cos (x) \tan (x) - 7 \sin (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5

化简每一项。

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解题步骤 8.5.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 8.5.1.1

添加圆括号。

$5 (\cos (x) \tan (x)) - 7 \sin (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.1.2

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$5 (\tan (x) \cos (x)) - 7 \sin (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.1.3

将 $5 \cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$5 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - 7 \sin (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.1.4

约去公因数。

$5 \sin (x) - 7 \sin (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$5 \sin (x) - 7 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.3

乘以 $- 7 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 8.5.3.1

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $- 7$ 。

$5 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 7}{\cos (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.3.2

组合 $\frac{\sin (x) \cdot - 7}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$5 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 7 \sin (x)}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.3.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sin (x) + \frac{- 7 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.3.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sin (x) + \frac{- 7 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \sin (x) + \frac{- 7 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \sin (x) + \frac{- 7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.4

将负号移到分数的前面。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.5

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.6

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.7

一的任意次幂都为一。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.8

组合 $5$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.9

组合 $\frac{5}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.5.10

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 7 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

解题步骤 8.5.11

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 7 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 8.5.12

一的任意次幂都为一。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 7 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 8.5.13

组合 $7$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{7}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 8.5.14

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.14.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{7}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

解题步骤 8.5.14.2

约去公因数。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{7}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

解题步骤 8.5.14.3

重写表达式。

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{7}{\cos (x)}$

解题步骤 8.6

在公分母上合并分子。

$5 \sin (x) + \frac{- 7 \sin^{2} (x) + 7}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.7

将 $- 7 \sin^{2} (x)$ 和 $7$ 重新排序。

$5 \sin (x) + \frac{7 - 7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.8

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$5 \sin (x) + \frac{7 (1) - 7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.9

从 $- 7 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $7$ 。

$5 \sin (x) + \frac{7 (1) + 7 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.10

从 $7 (1) + 7 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $7$ 。

$5 \sin (x) + \frac{7 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.11

使用勾股恒等式。

$5 \sin (x) + \frac{7 \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.12

约去 $\cos^{2} (x)$ 和 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.12.1

从 $7 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$5 \sin (x) + \frac{\cos (x) (7 \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.12.2

约去公因数。

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解题步骤 8.12.2.1

乘以 $1$ 。

$5 \sin (x) + \frac{\cos (x) (7 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.12.2.2

约去公因数。

$5 \sin (x) + \frac{\cos (x) (7 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.12.2.3

重写表达式。

$5 \sin (x) + \frac{7 \cos (x)}{1} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.12.2.4

用 $7 \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8.13

化简每一项。

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解题步骤 8.13.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 8.13.2

分离分数。

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8.13.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5}{\cos (x)} \tan (x)$

解题步骤 8.13.4

分离分数。

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

解题步骤 8.13.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5}{1} \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 8.13.6

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + 5 \sec (x) \tan (x)$

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