微积分学示例

$x (25 - x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 25 - x$ 。

$x \frac{d}{d x} [25 - x] + (25 - x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $25 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x]) + (25 - x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (25 - x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$x \frac{d}{d x} [- x] + (25 - x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (- \frac{d}{d x} [x]) + (25 - x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- 1 \cdot 1) + (25 - x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x \cdot - 1 + (25 - x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 1 \cdot x + (25 - x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- x + (25 - x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- x + (25 - x) \cdot 1$

解题步骤 2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.8.1

将 $25 - x$ 乘以 $1$ 。

$- x + 25 - x$

解题步骤 2.8.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$- 2 x + 25$

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