微积分学示例

$\ln (\ln (1 - x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (1 - x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (1 - x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\ln (1 - x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - x$ 。

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 2.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{1 - x}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (1 - x)}$ 。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \cdot - 1$

解题步骤 3.7.2

组合 $\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$

解题步骤 3.7.3

化简表达式。

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解题步骤 3.7.3.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$

解题步骤 3.7.3.2

将 $- \frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{1}{\ln (1 - x) (1 - x)}$

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