微积分学示例

$\ln (\csc (5 x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \csc (5 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (5 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\csc (5 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\csc (5 x)} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

解题步骤 2

将 $\csc (5 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (5 x)}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (5 x)}$ 。

$1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

解题步骤 4

将 $\sin (5 x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x$ 。

$\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 5.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$\sin (5 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 5.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1)$

解题步骤 6.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

重新排序 $\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$ 的因式。

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x) \sin (5 x)$

解题步骤 7.2

将 $\cot (5 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 5 \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

解题步骤 7.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ 。

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

解题步骤 7.5

将 $\csc (5 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 7.6

乘以 $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$ 。

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解题步骤 7.6.1

将 $\frac{1}{\sin (5 x)}$ 乘以 $\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ 。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 7.6.2

对 $\sin (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 7.6.3

对 $\sin (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 7.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{{\sin (5 x)}^{1 + 1}} \sin (5 x)$

解题步骤 7.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 7.7

约去 $\sin (5 x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.1

将 $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 7.7.2

从 $\sin^{2} (5 x)$ 中分解出因数 $\sin (5 x)$ 。

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 7.7.3

约去公因数。

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 7.7.4

重写表达式。

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 7.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 7.9

分离分数。

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

解题步骤 7.10

将 $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ 转换成 $\cot (5 x)$ 。

$- (\frac{5}{1} \cot (5 x))$

解题步骤 7.11

用 $5$ 除以 $1$ 。

$- (5 \cot (5 x))$

解题步骤 7.12

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 \cot (5 x)$

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