微积分学示例

$\ln (\sec (\frac{2}{x}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sec (\frac{2}{x})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (\frac{2}{x})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

解题步骤 1.3

使用 $\sec (\frac{2}{x})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sec (\frac{2}{x})} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

解题步骤 2

将 $\sec (\frac{2}{x})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ 。

$1 \cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

解题步骤 4

将 $\cos (\frac{2}{x})$ 乘以 $1$ 。

$\cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{2}{x}$ 。

$\cos (\frac{2}{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

解题步骤 5.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

解题步骤 5.3

使用 $\frac{2}{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 (- x^{- 2}))$

解题步骤 6.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 x^{- 2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 7.2.2

将负号移到分数的前面。

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{2}{x^{2}})$

解题步骤 7.2.3

组合 $\cos (\frac{2}{x})$ 和 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}})$

解题步骤 7.2.4

组合 $\sec (\frac{2}{x})$ 和 $\frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}}$ 。

$\tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}})$

解题步骤 7.2.5

组合 $\tan (\frac{2}{x})$ 和 $\frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}}$ 。

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2))}{x^{2}}$

解题步骤 7.2.6

将 $2$ 移到 $\cos (\frac{2}{x})$ 的左侧。

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (2 \cdot \cos (\frac{2}{x})))}{x^{2}}$

解题步骤 7.2.7

将 $2$ 移到 $\sec (\frac{2}{x})$ 的左侧。

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (2 \cdot \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x}))}{x^{2}}$

解题步骤 7.2.8

将 $2$ 移到 $\tan (\frac{2}{x})$ 的左侧。

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

将 $\tan (\frac{2}{x})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.2

将 $\sec (\frac{2}{x})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.3

合并指数。

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解题步骤 7.3.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ 。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.3.2

将 $\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ 。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.3.3

对 $\cos (\frac{2}{x})$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.3.4

对 $\cos (\frac{2}{x})$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos^{1} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{{\cos (\frac{2}{x})}^{1 + 1}} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.3.7

组合 $\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ 和 $\cos (\frac{2}{x})$ 。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.4

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ 。

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解题步骤 7.3.4.1

从 $2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})$ 中分解出因数 $\cos (\frac{2}{x})$ 。

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.4.2

从 $\cos^{2} (\frac{2}{x})$ 中分解出因数 $\cos (\frac{2}{x})$ 。

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.4.3

约去公因数。

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.4.4

重写表达式。

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

解题步骤 7.4

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 7.5

合并。

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cdot 1}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

解题步骤 7.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

解题步骤 7.7

分离分数。

$- (\frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})})$

解题步骤 7.8

将 $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ 转换成 $\tan (\frac{2}{x})$ 。

$- (\frac{2}{x^{2}} \tan (\frac{2}{x}))$

解题步骤 7.9

组合 $\frac{2}{x^{2}}$ 和 $\tan (\frac{2}{x})$ 。

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

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