微积分学示例

$\ln (\ln (\ln (\ln (x))))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (\ln (\ln (x)))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (\ln (\ln (x)))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\ln (\ln (x)))]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (\ln (x)))]$

解题步骤 1.3

使用 $\ln (\ln (\ln (x)))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (\ln (x)))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (\ln (x))$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (\ln (x))$ 。

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))])$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))])$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (\ln (x))$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{\ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))])$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))}$ 。

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{3}}$ 。

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 4.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\ln (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))}$ 。

$\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x))))} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 6

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x))))} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x))))}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))) x}$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$\frac{1}{x \ln (\ln (\ln (x))) \ln (\ln (x)) \ln (x)}$

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