微积分学示例

$\ln (\sin (x^{x}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (x^{x})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x^{x})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x^{x})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sin (x^{x})} \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\sin (x^{x})}$ 转换成 $\csc (x^{x})$ 。

$\csc (x^{x}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{x}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{x}$ 。

$\csc (x^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{x}])$

解题步骤 3.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\csc (x^{x}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\csc (x^{x}) (\cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

解题步骤 4

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 4.1

将 $x^{x}$ 重写为 $e^{\ln (x^{x})}$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

解题步骤 4.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{x})$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (x)$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $x \ln (x)$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 5.3

使用 $x \ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 7

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 8

使用幂法则求微分。

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解题步骤 8.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 8.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 8.2.2

重写表达式。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

解题步骤 8.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x))$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \ln (x))$

解题步骤 9.3

将 $e^{x \ln (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) e^{x \ln (x)} + \csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \ln (x))$

解题步骤 9.4

重新排序项。

$e^{x \ln (x)} \cos (x^{x}) \csc (x^{x}) + e^{x \ln (x)} \cos (x^{x}) \csc (x^{x}) \ln (x)$

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