微积分学示例

$p (x) = 4000 (15 - x) (x - 2)$

解题步骤 1

因为 $4000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4000 (15 - x) (x - 2)$ 对 $x$ 的导数是 $4000 \frac{d}{d x} [(15 - x) (x - 2)]$ 。

$4000 \frac{d}{d x} [(15 - x) (x - 2)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 15 - x$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$4000 ((15 - x) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$4000 ((15 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4000 ((15 - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4000 ((15 - x) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4000 ((15 - x) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.4.2

将 $15 - x$ 乘以 $1$ 。

$4000 (15 - x + (x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x])$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $15 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$4000 (15 - x + (x - 2) (\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 3.6

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4000 (15 - x + (x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 3.7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$4000 (15 - x + (x - 2) \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4000 (15 - x + (x - 2) (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4000 (15 - x + (x - 2) (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 3.10

化简表达式。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4000 (15 - x + (x - 2) \cdot - 1)$

解题步骤 3.10.2

将 $- 1$ 移到 $x - 2$ 的左侧。

$4000 (15 - x - 1 \cdot (x - 2))$

解题步骤 3.10.3

将 $- 1 (x - 2)$ 重写为 $- (x - 2)$ 。

$4000 (15 - x - (x - 2))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$4000 (15 - x - x - - 2)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$4000 \cdot 15 + 4000 (- x) + 4000 (- x) + 4000 (- - 2)$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $4000$ 乘以 $15$ 。

$60000 + 4000 (- x) + 4000 (- x) + 4000 (- - 2)$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4000$ 。

$60000 - 4000 x + 4000 (- x) + 4000 (- - 2)$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1$ 乘以 $4000$ 。

$60000 - 4000 x - 4000 x + 4000 (- - 2)$

解题步骤 4.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$60000 - 4000 x - 4000 x + 4000 \cdot 2$

解题步骤 4.3.5

将 $4000$ 乘以 $2$ 。

$60000 - 4000 x - 4000 x + 8000$

解题步骤 4.3.6

从 $- 4000 x$ 中减去 $4000 x$ 。

$60000 - 8000 x + 8000$

解题步骤 4.3.7

将 $60000$ 和 $8000$ 相加。

$- 8000 x + 68000$

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