微积分学示例

$\log (\log (100000^{200 x}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = \log (100000^{200 x})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\log (100000^{200 x})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

解题步骤 1.2

$\log (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

解题步骤 1.3

使用 $\log (100000^{200 x})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = 100000^{200 x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $100000^{200 x}$ 。

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

解题步骤 2.2

$\log (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ 。

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

解题步骤 2.3

使用 $100000^{200 x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10)}$ 乘以 $\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)}$ 。

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10) (\log (100000^{200 x}) \ln (10))} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

解题步骤 4

对 $\ln (10)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{100000^{200 x} (\ln^{1} (10) \ln (10)) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

解题步骤 5

对 $\ln (10)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{100000^{200 x} (\ln^{1} (10) \ln^{1} (10)) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{100000^{200 x} {\ln (10)}^{1 + 1} \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 100000^{x}$ 且 $g (x) = 200 x$ 。

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解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $200 x$ 。

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (\frac{d}{d u_{3}} [100000^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [200 x])$

解题步骤 8.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $100000$ 。

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (100000^{u_{3}} \ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

解题步骤 8.3

使用 $200 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (100000^{200 x} \ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

解题步骤 9

求微分。

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解题步骤 9.1

组合 $100000^{200 x}$ 和 $\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ 。

$\frac{100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (\ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

解题步骤 9.2

化简项。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\ln (100000)$ 和 $\frac{100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ 。

$\frac{\ln (100000) \cdot 100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

解题步骤 9.2.2

约去 $100000^{200 x}$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\ln (100000) \cdot 100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

解题步骤 9.2.2.2

重写表达式。

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

解题步骤 9.3

因为 $200$ 对于 $x$ 是常数，所以 $200 x$ 对 $x$ 的导数是 $200 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (200 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9.4

组合 $200$ 和 $\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ 。

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \cdot 1$

解题步骤 9.6

将 $\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

通过将 $200 x$ 移到对数外来展开 $\log (100000^{200 x})$ 。

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) (200 x \log (100000))}$

解题步骤 10.2

约去 $200$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

约去公因数。

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) (200 x \log (100000))}$

解题步骤 10.2.2

重写表达式。

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) (x \log (100000))}$

解题步骤 10.3

$100000$ 的对数底 $10$ 的值为 $5$ 。

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) x \cdot 5}$

解题步骤 10.4

将 $5$ 移到 $\ln^{2} (10) x$ 的左侧。

$\frac{\ln (100000)}{5 \cdot (\ln^{2} (10) x)}$

解题步骤 10.5

将 $\frac{\ln (100000)}{5 \ln^{2} (10) x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\ln (100000)}{5 x \ln^{2} (10)}$

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