微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

从 $x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 4)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{d}{d x} [x (x - 4) x^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (x - 4)]$

解题步骤 4.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (x - 4)]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (x - 4)]$

解题步骤 4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (x - 4)]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (x - 4)]$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 4)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6.4

化简表达式。

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解题步骤 6.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6.4.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2

合并项。

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解题步骤 14.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 14.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 14.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.3.3

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.5

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.6

约去公因数。

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解题步骤 14.2.6.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 14.2.6.2

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.6.3

重写表达式。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.7

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.8

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.9

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.10

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.11

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.12

将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

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