微积分学示例

$f (x) = \frac{12 x^{2} - 1 x + 2}{3 x + 2}$

解题步骤 1

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{12 x^{2} - x + 2}{3 x + 2}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 12 x^{2} - x + 2$ 且 $g (x) = 3 x + 2$ 。

$\frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [12 x^{2} - x + 2] - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $12 x^{2} - x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(3 x + 2) (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(3 x + 2) (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 + 0) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $24 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.10

根据加法法则， $3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.11

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.13

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.14

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.15

化简表达式。

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解题步骤 3.15.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.15.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - 3 (12 x^{2} - x + 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(3 x + 2) (24 x - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{3 x (24 x - 1) + 2 (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 \cdot 24 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 \cdot 24 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 \cdot 24 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.1.3

将 $3$ 乘以 $24$ 。

$\frac{72 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.1.5

将 $24$ 乘以 $2$ 。

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 48 x + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 48 x - 2 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 3 x$ 和 $48 x$ 相加。

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3

将 $12$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} + 3 x - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} + 3 x - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

从 $72 x^{2}$ 中减去 $36 x^{2}$ 。

$\frac{36 x^{2} + 45 x - 2 + 3 x - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 $45 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 2 - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

从 $- 2$ 中减去 $6$ 。

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3

从 $36 x^{2} + 48 x - 8$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.3.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (9 x^{2}) + 48 x - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

从 $48 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

从 $4 (9 x^{2}) + 4 (12 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3.5

从 $4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x - 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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