微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{8} x^{2} \cdot (4 \sqrt{x})$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8} \cdot (4 \sqrt{x})]$

解题步骤 2

组合 $4$ 和 $\frac{x^{2}}{8}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{8} \cdot \sqrt{x}]$

解题步骤 3

组合 $\frac{4 x^{2}}{8}$ 和 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2} \sqrt{x}}{8}]$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{8}]$

解题步骤 5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2})}{8}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + 2}}{8}]$

解题步骤 5.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{8}]$

解题步骤 5.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{8}]$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}}{8}]$

解题步骤 5.6

化简分子。

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解题步骤 5.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1 + 4}{2}}}{8}]$

解题步骤 5.6.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{8}]$

解题步骤 6

从 $4 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x^{\frac{5}{2}})}{8}]$

解题步骤 7

约去公因数。

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解题步骤 7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{4 \cdot 2}]$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{4 \cdot 2}]$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}]$

解题步骤 8

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

解题步骤 10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 13

化简分子。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

解题步骤 13.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 14

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 16

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{4}$

微积分学 示例

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