微积分学示例

$f (x) = (7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \ln (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x]$

解题步骤 2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x]$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 3.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 3.7

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 3.8

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \cdot 1)$

解题步骤 3.10

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6)$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

运用分配律。

$7 x^{4} \frac{1}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$7 x^{4} \frac{1}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

组合 $7$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{4} \frac{7}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.2

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{7}{x}$ 。

$\frac{x^{4} \cdot 7}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.3

将 $7$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\frac{7 \cdot x^{4}}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.4

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1

从 $7 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (7 x^{3})}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (7 x^{3})}{x^{1}} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (7 x^{3})}{x \cdot 1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.4.2.3

约去公因数。

$\frac{x (7 x^{3})}{x \cdot 1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.4.2.4

重写表达式。

$\frac{7 x^{3}}{1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.4.2.5

用 $7 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$7 x^{3} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.5

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$7 x^{3} + x^{3} \frac{- 5}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.6

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{- 5}{x}$ 。

$7 x^{3} + \frac{x^{3} \cdot - 5}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.7

将 $- 5$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$7 x^{3} + \frac{- 5 \cdot x^{3}}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.8

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.8.1

从 $- 5 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.8.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x^{1}} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.8.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x \cdot 1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.8.2.3

约去公因数。

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x \cdot 1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.8.2.4

重写表达式。

$7 x^{3} + \frac{- 5 x^{2}}{1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.8.2.5

用 $- 5 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.9

组合 $6$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$7 x^{3} - 5 x^{2} + x \frac{6}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.10

组合 $x$ 和 $\frac{6}{x}$ 。

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.11

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{6 \cdot x}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.12

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.12.1

约去公因数。

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{6 x}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.12.2

用 $6$ 除以 $1$ 。

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

解题步骤 4.3.13

将 $6$ 移到 $\ln (x)$ 的左侧。

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + 6 \ln (x)$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 28 x^{3} \ln (x) - 15 x^{2} \ln (x) + 6 \ln (x) + 6$

微积分学 示例

微积分学示例