微积分学示例

$f (x) = \frac{\cot (2 x)}{\csc (5 x)}$

解题步骤 1

将 $\csc (5 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

解题步骤 2

将 $\cot (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (5 x)}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

解题步骤 4

将 $\sin (5 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{1}]$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

用 $\sin (5 x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

解题步骤 5.2

将 $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\cot (2 x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\cot (2 x) \sin (5 x)]$

解题步骤 6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (2 x)$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

$\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

解题步骤 7.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cot (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

解题步骤 7.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cot (2 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

解题步骤 8.3

化简表达式。

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解题步骤 8.3.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\cot (2 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

解题步骤 8.3.2

将 $5$ 移到 $\cot (2 x) \cos (5 x)$ 的左侧。

$5 \cdot (\cot (2 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

解题步骤 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 9.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 9.2

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{2})$ 。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 9.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 10

求微分。

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解题步骤 10.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)$

解题步骤 10.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

重新排序项。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

解题步骤 11.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1

将 $\cot (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

解题步骤 11.2.2

乘以 $5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 。

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解题步骤 11.2.2.1

组合 $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 和 $5$ 。

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)} \cos (5 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

解题步骤 11.2.2.2

组合 $\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)}$ 和 $\cos (5 x)$ 。

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5 \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

解题步骤 11.2.3

将 $5$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

解题步骤 11.2.4

将 $\csc (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2} \sin (5 x)$

解题步骤 11.2.5

对 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 11.2.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 11.2.7

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ 。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 11.2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

解题步骤 11.2.9

组合 $\sin (5 x)$ 和 $\frac{2}{\sin^{2} (2 x)}$ 。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (5 x) \cdot 2}{\sin^{2} (2 x)}$

解题步骤 11.2.10

将 $2$ 移到 $\sin (5 x)$ 的左侧。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

解题步骤 11.3

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1

分离分数。

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\cot (2 x)$ 。

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

解题步骤 11.3.3

用 $5 \cos (5 x)$ 除以 $1$ 。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

解题步骤 11.3.4

从 $\sin^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $\sin (2 x)$ 。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin (2 x) \sin (2 x)}$

解题步骤 11.3.5

分离分数。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)})$

解题步骤 11.3.6

将 $\frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)}$ 重写为乘积形式。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

解题步骤 11.3.7

将 $\sin (5 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}))$

解题步骤 11.3.8

化简。

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解题步骤 11.3.8.1

用 $\sin (5 x)$ 除以 $1$ 。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

解题步骤 11.3.8.2

将 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\csc (2 x)$ 。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

解题步骤 11.3.9

分离分数。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

解题步骤 11.3.10

将 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\csc (2 x)$ 。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

解题步骤 11.3.11

用 $2$ 除以 $1$ 。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

解题步骤 11.3.12

乘以 $2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x))$ 。

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解题步骤 11.3.12.1

对 $\csc (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc (2 x)) \sin (5 x))$

解题步骤 11.3.12.2

对 $\csc (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc^{1} (2 x)) \sin (5 x))$

解题步骤 11.3.12.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 {\csc (2 x)}^{1 + 1} \sin (5 x))$

解题步骤 11.3.12.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x))$

解题步骤 11.3.13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

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