微积分学示例

$f (x) = {(5 x + 7)}^{2} (e^{x})$

解题步骤 1

将 ${(5 x + 7)}^{2}$ 重写为 $(5 x + 7) (5 x + 7)$ 。

$\frac{d}{d x} [(5 x + 7) (5 x + 7) e^{x}]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(5 x + 7) (5 x + 7)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x + 7) + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

解题步骤 3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

解题步骤 3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

解题步骤 3.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

解题步骤 3.1.4

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

解题步骤 3.1.5

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 7 \cdot 7) e^{x}]$

解题步骤 3.1.6

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 49) e^{x}]$

解题步骤 3.2

将 $35 x$ 和 $35 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x}]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $25 x^{2} + 70 x + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 6.2

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 6.4

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 6.5

因为 $70$ 对于 $x$ 是常数，所以 $70 x$ 对 $x$ 的导数是 $70 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 6.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 6.7

将 $70$ 乘以 $1$ 。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + \frac{d}{d x} [49])$

解题步骤 6.8

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + 0)$

解题步骤 6.9

将 $50 x + 70$ 和 $0$ 相加。

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + e^{x} \cdot 70$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

将 $70$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + 70 \cdot e^{x}$

解题步骤 7.3.2

将 $70 x e^{x}$ 和 $e^{x} (50 x)$ 相加。

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解题步骤 7.3.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 50 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

解题步骤 7.3.2.2

将 $70 x e^{x}$ 和 $50 x e^{x}$ 相加。

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

解题步骤 7.3.3

将 $49 e^{x}$ 和 $70 e^{x}$ 相加。

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$

解题步骤 7.5

将 $25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$

微积分学 示例

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